Titres de la page "Perpective"
 A Quelques généralités sur la perspective

La perspective à points de fuite est aussi appelée perspective centrale, linéaire ou conique.
C'est la perspective des peintres de la Renaissance. C'est aussi celle qui apparaît sur une photo.
La diificulté du dessin en perspective est de traduire dans un plan (celui de la feuille de papier par exemple) une construction qui est définie - de manière assez simple, d'ailleurs - dans l'espace. (Voir A1)
Quelques règles élémentaires permettent cependant de construire assez facilement la perspective de figures situées dans un plan horizontal. (Voir l'exemple d'un carrelage carré au B2 ou au B4b)
On peut aussi dessiner rapidement quelques solides, par exemple des pavés droits, tant qu'on ne cherche pas à respecter les proportions de ses côtés.
On obtient encore simplement quelques cubes particuliers de l'espace. (Voir par exemple B5a et B5b).
Il est par contre nettement plus difficile de dessiner un cube dans une position quelconque.
Nous verrons comment le faire au B5c).

A1) Définition - un exemple de dessin
A2) Droites et plans particuliers
A3) Point de fuite d'une droite
A4) Eléments de référence d’un plan
 
A1) Définition de la perspective d'un point - un exemple de dessin
O est la position de l'oeil.
Le dessin en perspective se fait sur le plan du tableau.
L'image en perspective d'un point M de l'espace est le point m situé à l'intersection de la droite (OM) avec le tableau.
 
Les objets libres de cette figure sont les sommets du polygone bleu, les points F, O et la droite (h).

Début du A
A2) Droites et plans particuliers

Lorsqu'on parle de perspective à points de fuite, on utilise quelques plans et droites particuliers :

Début du A
A3) Point de fuite d'une droite

  * Le point de fuite d'une droite D est le point d'intersection F du plan du tableau T avec la droite parallèle à D passant par O.
Deux droites parallèles D et D' ont donc le même point de fuite.

* Si on note A le point d'intersection de D avec T, le dessin en perspective de D est la droite (AF), intersection de T avec le plan contenant O et D.

Puisque deux droites parallèles ont le même point de fuite F, elles sont donc représentées par deux droites sécantes en F.

 
Pour dessiner en perspective des droites parallèles, voir le paragraphe B1).

Début du A  
A4) Eléments de référence d'un plan

A4a) Définitions

Sur le dessin, un plan P est caractérisé par sa ligne de fuite, son point de fuite principal et sa distance.

  * La ligne de fuite du plan P est la droite d'intersection (h') du plan P', parallèle à P et passant par O, avec le plan du tableau.
Elle contient par conséquent les points de fuite de toutes les droites contenues dans P.

* Le point de fuite principal du plan P est le projeté orthogonal F' du point O sur la droite (h').
C'est le point de fuite des droites de P parallèles à (OF'), donc orthogonales à (h').

* La distance d' du plan P est la distance OF'.

* On appelle points de distance de P les deux points D'1 et D'2 de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = d'.


Il résulte de ces définitions que deux plans parallèles ont les mêmes éléments de référence.

On constate aussi que P' est le plan défini par la droite (h') et le point O.

Par conséquent, un plan P qui a pour ligne de fuite (h') est parallèle au plan contenant O et (h').
Finalement, si on connaît un point A de P en plus de sa ligne de fuite (h'), le plan P est entièrement déterminé. C'est le plan passant par A, parallèle au plan (O, (h')).

Pour un plan horizontal, la ligne de fuite est la ligne d'horizon (h), le point de fuite principal FP est le projeté orthogonal de O sur le plan du tableau et la distance d est égale à la distance O FP de l'oeil au tableau.

Pour un plan vertical, (h') est perpendiculaire à (h) et F' est le point d'intersection de (h) et de (h').

Les deux points D1 et D2 de (h) tels que FP D1 = FP D2 = d sont les points de fuite des droites horizontales qui font avec (h) un angle de 45°.
De même pour un plan P, les deux points D'1 et D'2 de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = d' sont les points de fuite des droites de P qui font avec (h') un angle de 45°.

Preuve pour un plan horizontal :
Soit ABC un triangle rectangle isocèle du plan S du sol tel que A soit le projeté orthogonal de FP sur le sol et B un point de la ligne de terre (LT).
Notons D le point de fuite de la direction (BC), qui est une horizontale faisant un angle de 45° avec la ligne d'horizon (h).
T désigne le plan du tableau.
Par définition O FP = d. Prouvons que FP D = d.



* Par définition de FP, (O FP) M T ;
de plus il résulte de la
définition de A, que (AC) M T.
D'où (O FP) // (AC)

* D'autre part, par définition du point de fuite D de (BC),
(OD) // (BC)

* Donc l'angle FP O D mesure 45° car ses côtés sont parallèles à ceux de l'angle ACB.

* Par conséquent,
FP D O est rectangle en FP et isocèle.
D'où FP D = FP O = d.

Remarque :
FP est le point de fuite des droites de S orthogonales à (h), donc de (AC).
D est le point de fuite de (BC).
Dans le plan T, le point c image de C est donc l'intersection de (A FP) et de (BD).

Pour construire les éléments de référence d'un plan, voir le paragraphe B3).

Début du A
A4b) Rôle de ces éléments pour le dessin

Pour un plan horizontal :
La ligne d’horizon (h) est l’ensemble des points de fuite de toutes les droites horizontales.
Le point de fuite principal FP est le point de fuite de toutes les droites perpendiculaires au plan du tableau, c'est à dire des droites de bout.

Les points de distance D1 et D2 sont les points de fuite des droites horizontales qui font avec (h) un angle de 45°. D1 et D2 sont évidemment sur (h).

Pour un autre plan (P) :

La ligne de fuite (h') est l’ensemble des points de fuite de toutes les droites de (P). On l'appelle aussi ligne d'horizon de (P).
Le point de fuite principal F' est le point de fuite de toutes les droites de P orthogonales à (h').
Les points de distance D'1 et D'2 sont les points de fuite des droites de P qui font avec (h') un angle de 45°.


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