Début
 A Quelques généralités sur la perspective à points de fuite

La perspective à points de fuite est aussi appelée perspective centrale, linéaire ou conique.
C'est la perspective des peintres de la Renaissance. C'est aussi celle qui apparaît sur une photo.
La diificulté du dessin en perspective est de traduire dans un plan (celui de la feuille de papier par exemple) une construction qui est définie - de manière assez simple, d'ailleurs - dans l'espace. (Voir A1)
Quelques règles élémentaires permettent cependant de construire assez facilement la perspective de figures situées dans un plan horizontal. (Voir l'exemple d'un carrelage carré au B2 ou au B4b)
On peut aussi dessiner rapidement quelques solides, par exemple des pavés droits, tant qu'on ne cherche pas à respecter les proportions de ses côtés.
On obtient encore simplement quelques cubes particuliers de l'espace. (Voir par exemple B5a et B5b) .
 Il est par contre nettement plus difficile de dessiner un cube dans une position quelconque.
Nous verrons comment le faire au B5c).

A1) Définition - un exemple de dessin
 A2) Droites et plans particuliers
A3) Point de fuite d'une droite
A4) Eléments de référence d’un plan

Début A1) Définition de la perspective d'un point - un exemple de dessin
O est la position de l'oeil.
Le dessin en perspective se fait sur le plan du tableau.
L'image en perspective d'un point M de l'espace est le point m situé à l'intersection de la droite (OM) avec le tableau.
 
Les objets libres de cette figure sont les sommets du polygone bleu, les points F, O et la droite (h).

Début A2) Droites et plans particuliers

Lorsqu'on parle de perspective à points de fuite, on utilise quelques plans et droites particuliers :

Début A3) Point de fuite d'une droite

  * Le point de fuite d'une droite D est le point d'intersection F du plan du tableau T avec la droite parallèle à D passant par O.
Deux droites parallèles D et D' ont donc le même point de fuite.

* Si on note A le point d'intersection de D avec T, le dessin en perspective de D est la droite (AF), intersection de T avec le plan contenant O et D.

Puisque deux droites parallèles ont le même point de fuite F, elles sont donc représentées par deux droites sécantes en F.

  

Pour dessiner en perspective des droites parallèles, voir le paragraphe B1).

Début A4) Eléments de référence d'un plan

Début A4a) Définitions

Sur le dessin, un plan P est caractérisé par sa ligne de fuite, son point de fuite principal et sa distance.

  * La ligne de fuite du plan P est la droite d'intersection (h') du plan P', parallèle à P et passant par O, avec le plan du tableau.
Elle contient par conséquent les points de fuite de toutes les droites contenues dans P.

* Le point de fuite principal du plan P est le projeté orthogonal F' du point O sur la droite (h').
C'est le point de fuite des droites de P parallèles à (OF'), donc orthogonales à (h').

* La distance d' du plan P est la distance OF'.

* On appelle points de distance de P les deux points D'1 et D'2 de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = d'.

  

Il résulte de ces définitions que deux plans parallèles ont les mêmes éléments de référence.

On constate aussi que P' est le plan défini par la droite (h') et le point O.
Par conséquent, un plan P qui a pour ligne de fuite (h') est parallèle au plan contenant O et (h').
Finalement, si on connaît un point A de P en plus de sa ligne de fuite (h'), le plan P est entièrement déterminé. C'est le plan passant par A, parallèle au plan (O, (h')).

 
Pour un plan horizontal, la ligne de fuite est la ligne d'horizon (h), le point de fuite principal FP est le projeté orthogonal de O sur le plan du tableau et la distance d est égale à la distance O FP de l'oeil au tableau.

Pour un plan vertical, (h') est perpendiculaire à (h) et F' est le point d'intersection de (h) et de (h').

Les deux points D1 et D2 de (h) tels que FP D1 = FP D2 = d sont les points de fuite des droites horizontales qui font avec (h) un angle de 45°.
De même pour un plan P, les deux points D'1 et D'2 de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = d' sont les points de fuite des droites de P qui font avec (h') un angle de 45°.

Preuve pour un plan horizontal :
Soit ABC un triangle rectangle isocèle du plan S du sol tel que A soit le projeté orthogonal de FP sur le sol et B un point de la ligne de terre (LT).
Notons D le point de fuite de la direction (BC), qui est une horizontale faisant un angle de 45° avec la ligne d'horizon (h).
T désigne le plan du tableau.
 Par définition O FP = d. Prouvons que FP D = d.




* Par définition de FP, (O FP) M T ;
de plus il résulte de la définition de A, que (AC) M T.
D'où (O FP) // (AC)

* D'autre part, par définition du point de fuite D de (BC), (OD) // (BC)

* Donc l'angle FP O D mesure 45° car ses côtés sont parallèles à ceux de l'angle ACB.

* Par conséquent, FP D O est rectangle en FP et isocèle.
D'où FP D = FP O = d.

Remarque :
FP est le point de fuite des droites de S orthogonales à (h), donc de (AC).
D est le point de fuite de (BC).
Dans le plan T, le point c image de C est donc l'intersection de (A FP) et de (BD).

Pour construire les éléments de référence d'un plan, voir le paragraphe B3.

Début A4b) Rôle de ces éléments pour le dessin

Pour un plan horizontal :

La ligne d’horizon (h) est l’ensemble des points de fuite de toutes les droites horizontales.

Le point de fuite principal FP est le point de fuite de toutes les droites perpendiculaires au plan du tableau, c'est à dire des droites de bout.

Les points de distance D1 et D2 sont les points de fuite des droites horizontales qui font avec (h) un angle de 45°. D1 et D2 sont évidemment sur (h).

Pour un autre plan (P) :

La ligne de fuite (h') est l’ensemble des points de fuite de toutes les droites de (P). On l'appelle aussi ligne d'horizon de (P).
Le point de fuite principal F' est le point de fuite de toutes les droites de P orthogonales à (h').
Les points de distance D'1 et D'2 sont les points de fuite des droites de P qui font avec (h') un angle de 45°.

Début B Quelques problèmes de dessin

B1) Parallèle à une droite passant par un point
B2) Dessin d'un carrelage carré horizontal parallèle au tableau
B3) Construire les éléments de référence d'un plan
B4) Perspective d'un triangle rectangle isocèle
a) triangle à côté frontal b) triangle horizontal - carrelage horizontal c) cas général
B5) Perspective d'un cube
B6) Perspective d'un cercle horizontal


Début B1) Parallèle à une droite passant par un point

* On donne un plan (P) par sa ligne d'horizon (h), et les dessins en perspective (d) et a d'une droite (D) et d'un point A de (P).
* On veut construire la perspective (d') de la droite (D'), parallèle à (D) passant par A.


Les objets libres de cette figure sont les droites (h) et (d) et le point a.

 

Pour cela, on cherche le point de fuite f de (D), qui est l'intersection de (d) avec (h).

Comme (D) et (D') sont parallèles, elles ont le même point de fuite, donc (d') passe par f.
(d') est la droite (af).

Début B2) Dessin d'un carrelage carré horizontal parallèle au tableau

Pour mieux comprendre les règles de base du dessin en perspective, observer et manipuler la figure ci-dessous.
Le carrelage est situé dans le plan du sol. (S'il est dans un autre plan horizontal, la construction est identique.)
Les côtés des carreaux sont parallèles ou perpendiculaires au plan du dessin - appelé tableau.


Les objets libres de la figure sont les points FP, O, A, B, C et les segments [AB] et [AC].
 
Les perpendiculaires au tableau ont comme point de fuite FP. Ce point permet donc de dessiner la perspective des côtés des carreaux perpendiculaires au tableau.
Les diagonales des carreaux ont comme point de fuite D1 ou D2. (Voir A4a)
Il est indispensable d'utiliser ces points pour espacer correctement les parallèles au tableau.
Dessin du carrelage

 
* On donne la ligne d’horizon (h), le point de fuite principal FP et les points de distance D1 et D2 d'un plan horizontal.
On veut dessiner la perspective d'un carrelage horizontal dont un bord est parallèle à la ligne de terre.
Pour cela, on donne également un côté [I J] parallèle à la ligne de terre d'un carreau.


Les objets libres de la figure sont les points FP et D1 et les points I et J.
Pour voir le carrelage comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.

* Sur la droite (IJ), on place K, L, M, N... en reportant la longueur IJ pour avoir plusieurs carreaux.
On dessine les droites (FP I), (FP J), (FP K)... qui représentent les côtés du carrelage perpendiculaires au tableau.
On dessine la droite (I D1) qui représente la diagonale issue de I du carrelage.
Cette diagonale coupe (FP J), (FP K)... en des sommets J', K''... du carrelage.
Les parallèles à (IJ) passant par J', K''... représentent les côtés du carrelage parallèles au tableau.


Si les côtés du carrelage ne sont pas parallèles et perpendiculaires au plan du tableau, le dessin est nettement plus compliqué.
Nous verrons comment faire au B4b.


Début  
B3) Construire les éléments de référence d'un plan (P) donné par sa ligne d'horizon

* On donne un plan (P) par sa ligne d'horizon ou ligne de fuite (h').
On donne également (h), FP et D : ligne d’horizon, point de fuite principal et point de distance d’un plan horizontal.
* On veut construire le point de fuite principal F' et les points de distance D'1 et D'2 de (P) sur (h').
 

Analyse du problème : On se réfère au A4a).

* (O F') M (h') par définition de F' ;
(FP O) M T donc (FP O) M (h') ;
d'où (F' FP) M (h').
Par conséquent, F' est la projection orthogonale de FP sur (h').

* (FP O) M T donc (FP O) M (FP F'), donc le triangle F' FP O est rectangle en FP.
FP O = d et F' O = d', donc d' est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs FP F' et d.

Construction de F’, D’1 et D’2 sur (h’) :

F’ est la projection orthogonale de FP sur (h’).
(ho) est la parallèle à (h’) passant par FP et Do est un point d’intersection de (ho) avec le cercle C de centre FP passant par D.
((ho), FP et Do sont les éléments de référence des plans parallèles à (O, (ho)), qui sont des plans de bout.)
(F' FP Do est un triangle rectangle en FP, dont les côtés de l'angle droit ont pour mesures FP F' et FP Do = d, donc F' Do = d' d'après l'analyse précédente.)
D’1 et D’2 sont les points d’intersection de (h’) avec le cercle C' de centre F’ passant par Do.


Les objets libres de la figure sont les points FP et D et les droites (h) et (h').

Exemple : le plan P est vertical
Dans ce cas, sa ligne de fuite (h') est perpendiculaire à (h).
Si on connaît l'image d'une droite horizontale de P, on peut placer son point de fuite F' sur (h). Ce point est évidemment aussi sur (h').
Donc (h') est la perpendiculaire à (h) passant par F'.
De plus, F' est le point de fuite principal de P.
Enfin, les points de distance D'1 et D'2 de P sont les points de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = F' D0.


Début
B4) Perspective d'un triangle rectangle isocèle

A partir d’un segment [AB] d’un plan (P), donnés par leurs images [ab] et (h’), on cherche l’image d’un point E de (P) tel que le triangle ABE soit rectangle et isocèle en A.

a) triangle à côté frontal b) triangle horizontal - carrelage horizontal c) cas général
 
Début B4a) Image d'un triangle ABE rectangle isocèle en A lorsque la direction (AB) est frontale

On donne :
la ligne d’horizon (h), le point de fuite principal FP et un point de distance D d’un plan horizontal ; la ligne de fuite (h’) d’un plan P ; l’image [ab], parallèle à (h’), d’un segment [AB] du plan P. ([ab] est parallèle à (h') car (AB) est frontale.)

Il s’agit de construire l’image e d’un point E du plan P, tel que [AB] et [AE] soient perpendiculaires et de même longueur.
Construction du point e :
On place d’abord les éléments de référence F’, D’1 et D’2 du plan (P) sur (h’) (voir B3) ;
F’ étant le point de fuite de (AE) et D’2 celui de (BE), on obtient e comme point d’intersection de (a F’) et de (b D’2).
 
Les objets libres de la figure sont les points FP, D, a et b et les droites (h) et (h').
Début B4b) Dessin d'un triangle rectangle isocèle situé dans un plan P horizontal - Application à un carrelage horizontal

Le plan horizontal (P) est donné par ses éléments (h), FP, D1 et D2.
On donne aussi le dessin [ab] d'un côté du triangle situé dans P. On suppose ce côté non parallèle à (h), sinon on retrouve le B3a).
Il s’agit de construire [ae] tel que abe représente un triangle rectangle isocèle en a du plan P.

Analyse (voir figure ci-dessous) :

> Construisons un carré aBCE dans le plan horizontal (P) donné par ses éléments de référence (h), FP, D1, D2.
Appelons b et e les images de B et E. La parallèle (xy) à (h) passant par a est l’intersection de (P) et de (T).
> Appelons K et L les projections orthogonales de B et E sur (xy) dans le plan (P).
Tous les points de (xy) sont bien sûr leurs propres images. (BK) étant orthogonale à (T), son image (bK) passe par FP.
Donc K est l’intersection de (FP b) avec (xy).
> Appelons M le point de [KL] tel que KB=KM.
Le triangle KBM est rectangle isocèle donc son angle KBM mesure 45° donc l’image (Mb) de (MB) passe par le point de distance D2.
Donc M est l’intersection de (D2 b) avec (xy).
> Complétons le carré LKQR circonscrit au carré aBCE.
D’après les propriétés de cette figure, KB=La. D’où KM=La.
> (LE) étant orthogonale à (T), son image (Le) passe par FP.
Donc e est sur (FP L).
LM=aK et aK=EL donc le triangle LME est rectangle isocèle donc l’image (Me) de (ME) passe par le point de distance D1.
Donc e est sur (D1 M).

Construction
Sont donnés :
 
(h), FP, D1, D2 : ligne d’horizon, point de fuite principal et points de distance d’un plan horizontal P ;
[ab] non parallèle à (h) : a est un point commun au plan T du tableau et au plan P et b est l’image d’un point B du plan P.

Figure :
- On trace la parallèle (xy) à (h) passant par a.
- On note K le point d’intersection de (FP b) avec (xy).
- On note M le point d’intersection de (D2 b) avec (xy).
- On construit le point L, symétrique de K par rapport au milieu de [aM].
- Le point e est l’intersection de (L FP) et de (M D1).


Les objets libres de la figure sont les points FP, D1, a et b.

Autre méthode

Sur le tableau T, on construit le point de fuite F2 de (ab).
Puis on construit une vue de dessus de la figure :
- On place les traces de a, b, FP et F2, puis O sachant que O FP = d.
- (aB) est parallèle à (OF2) et b est l'intersection de (OB) avec T, donc B est l'intersection de (Ob) avec la parallèle à (OF2) passant par a.
- On construit alors le triangle rectangle isocèle aBE en vraie grandeur, puis la trace de e dans la vue de dessus, et le point de fuite F1 de (aE).
On en déduit la construction de e sur le tableau à partir de F1 et de sa trace dans la vue de dessus.

Début Nous savons maintenant construire un carrelage horizontal connaissant le côté [ab] de l'un des carreaux :

Nous venons de voir comment construire le côté [ae] à partir de [ab].
Grâce à (ae) et (ab), on obtient les points de fuite f1 et f2 des deux directions perpendiculaires du quadrillage.
On trouve c comme intersection de (b f1) et (e f2).
On obtient alors les points de fuite f3 et f4 des diagonales du quadrillage.
En utilisant f1, f2 et f3 on peut construire de proche en proche les autres carreaux.

 


Les objets libres de la figure sont les points FP, D1, a et b.
Pour voir le carrelage comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.


DébutB4c) Image d'un triangle ABE rectangle isocèle en A et d'un carré ABCE d'un plan quelconque P connaissant l'image de [AB]
Sont donnés :
(h), FP et D : ligne d’horizon, point de fuite principal et point de distance d’un plan horizontal ;
(h’) : ligne de fuite du plan P qu'on veut représenter ;
[ab] : image d’un segment [AB] du plan P.

Pour construire l'image d’un carré dont un côté est représenté par [ab] :
- On place les éléments de référence F’, D’1 et D’2 du plan du dessin, connu par (h’) (voir B3)
- On construit [a e] en reprenant la construction du B4b) où l’on remplace (h), FP, D1 et D2 par (h’), F’, D’1 et D’2.
(On trace la parallèle (xy) à (h’) passant par a.
K est le point d’intersection de (F’ b) avec (xy).
M est le point d’intersection de (D’2 b) avec (xy).
L est le symétrique de K par rapport au milieu de [aM].
e est le point d’intersection de (L F’) et de (M D’1).)
- On construit c : ( sachant que (a b) et (e c) ainsi que (a e) et (b c) représentent des parallèles donc ont même point de fuite sur (h’) )
- F1 est le point d’intersection de (a e) avec (h’).
- F2 est le point d’intersection de (a b) avec (h’).
- c est le point d’intersection des droites (b F1) et (e F2).
Les objets libres de la figure sont les points FP, D, a et b, le segment [ab] et les droites (h) et (h').
Pour voir le carré comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D.

A partir de la "dalle" abce, on pourrait maintenant construire un carrelage en reprenant la méthode du B4b.

 

Début B5) Perspective d'un cube

Dans ce paragraphe, nous confondrons les noms des points de l’espace (A, B, C...) avec les noms de leurs images (a, b, c...)

a) le cas le plus simple b) cube à face frontale c) cube à face horizontale d) cas général

Début B5a) Le cas le plus simple : dessin d'un cube ayant une arête horizontale dans une face frontale

(h), FP et D1 sont donnés ainsi que le carré ABCD situé dans un plan frontal avec (AB) // (h).

Dessin en perspective d'un cube d'arête (AB) horizontale dans une face frontale ABCD :

On construit les droites (A FP) et (B FP).
La droite (A D1) coupe la droite (B FP) en B’.
La parallèle à (AB) passant par B’ coupe (A FP) en A’.
On complète le carré A’B’C’D’.

Les objets libres de la figure sont les points FP, D1, A, B et la droite (h).

Pour voir le cube comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.

Début B5b) Dessin d'un cube ayant une face frontale

(h), FP et D1 sont donnés ainsi que le carré ABCD situé dans un plan frontal.

Construction de la perspective d’un cube de face ABCD :
- On construit la parallèle à (AB) passant par FP : c’est la ligne de fuite (h') des plans (de bout) des faces ABB’A’ et DCC’D’.
 - On construit D’1 sur (h’) tel que FP D1 = FP D’1 : D’1 est l’un des points de distance des plans ABB’ et DCC’.
- On reprend la construction du B5a) en remplaçant D1 par D’1.


Les objets libres de la figure sont les points FP, D1, A, B et la droite (h).
Pour voir le cube comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.

 

Début B5c) Dessin d'un cube ayant une face horizontale

La ligne d'horizon (h), le point de fuite principal F et les points de distance D1 et D2 sont donnés, ainsi qu'une arête verticale du cube.
[ac] est la vue de dessus de l'arête [AC] du cube. On en déduit [ad], vue de dessus de [AD].

- On place O dans la vue de dessus.
(Le triangle FOD1 est rectangle isocèle)

- Le point de fuite de la direction horizontale (ac) est le point d'intersection f du tableau avec la parallèle à (ac) passant par O.
- On trouve de même f', point de fuite de (ad).

- Le plan (ABC) est vertical, sa ligne de fuite est donc la perpendiculaire à (h) passant par f.
- De même, la ligne de fuite du plan (ABD) est la perpendiculaire à (h) passant par f'.

- On place les points de distance d1 et d2 de (ABC) et les points de distance d'1 et d'2 de (ABD). (Of et Of' sont les distances des plans (ABC) et (ABD).)
- C est le point d'intersection de (Af) et de (Bd1).
- D est le point d'intersection de (Af') et de (Bd'1).

Pour détailler la construction, glisser le curseur vers la gauche, puis animer avec ou avancer pas à pas avec .

 

B5d) Dessin d'un cube dans le cas général

Dans le cas général, le cube n'a aucune face frontale.

Sont donnés : (h), FP et D1 : ligne d’horizon, point de fuite principal et point de distance d’un plan horizontal. (h1) : ligne de fuite d’une face ABCE du cube. [ab] : image de l’arête [AB] du cube.

Construction de la perspective du cube ABCEA’B’C’E’ :
- On place les éléments de référence F’1, D11 et D12 du plan ABCE sur sa ligne de fuite (h1) (voir B3).
 - On construit l’image abce du carré ABCE à l’aide de sa ligne de fuite (h1) (voir B4c
- On obtient ainsi les points de fuite F1 et F2 des directions (AE) et (AB) sur (h1).
- On construit ensuite F3, intersection de la perpendiculaire à (F2 FP) passant par F1 et de (F’1 FP). (FP est alors l’orthocentre du triangle F1 F2 F3).
- La droite (F2 F3) est la ligne de fuite de la face ABB’A’. Notons-la (h2).
- On construit les éléments de rérence F’2, D21 et D22 du plan ABB’ sur (h2) (voir B3).
- On construit l’image abb’a’ du carré ABB’A’ à l’aide de sa ligne de fuite (h2) et de [ab] (voir B4c).
- Les derniers points, e’ et c’, s’obtiennent facilement : e’ est le point d’intersection de (a’ F1) et de (e F3) et c’ celui de (b’ F1) et de (c F3) par exemple.


 Les objets libres de la figure sont les points FP, D, a et b et les droites (h) et (h1).
Pour voir le cube comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D.

Tester quelques exemples en déplaçant les points libres de la figure...

 

Début B6) Perspective d'un cercle horizontal
B6a) Construction de quelques points remarquables du cercle

On inscrit le cercle dans un carré.
Le point de fuite principal F et les points de distance D1 et D2 permettent alors de dessiner facilement la perspective de ce carré, du centre du cercle et des points du cercle situés sur les côtés du carré ou sur ses diagonales.

 

Début B6b) Perspective d'un point quelconque du cercle et construction du cercle point par point

A l'aide de F et D1, on place le point O dans la vue de dessus. (FOD1 est rectangle isocèle, voir A4a.)
On construit la perspective c du centre C du cercle (voir B6a).
On prend deux points quelconques M et N diamétralement opposés sur le cercle.
La parallèle à (MN) passant par O coupe (h) en f qui est le point de fuite de la direction (MN) (voir A3).
A l'aide de F, on construit les images des droites (MK) et (NL) perpendiculaires au tableau et à l'aide de f, l'image (fc) de la droite (CM).
Les points m et n sont les intersections de ces images.


Cliquer une fois sur la fenêtre pour arrêter le mouvement ou le redémarrer.
Pour détailler la construction, glisser le curseur à.

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