La perspective à points de fuite est
aussi appelée perspective centrale, linéaire ou conique.
C'est la perspective des peintres de la Renaissance. C'est aussi celle qui
apparaît sur une photo.
La diificulté du dessin en perspective est de traduire dans un plan
(celui de la feuille de papier par exemple) une
construction qui est définie - de manière assez simple, d'ailleurs
- dans l'espace. (Voir A1)
Quelques règles élémentaires
permettent cependant de construire assez facilement la perspective de figures
situées dans un plan horizontal. (Voir l'exemple d'un carrelage carré
au B2 ou au B4b)
On peut aussi dessiner rapidement quelques solides, par exemple des pavés
droits, tant qu'on ne cherche pas à respecter les proportions de
ses côtés.
On obtient encore simplement quelques cubes particuliers
de l'espace. (Voir par exemple B5a et B5b)
.
Il est par contre nettement plus difficile de dessiner un cube
dans une position quelconque.
Nous verrons comment le faire au B5c).
A1)
Définition - un exemple de dessin
A2)
Droites et plans particuliers
A3) Point de fuite
d'une droite
A4) Eléments
de référence dun plan
Début
A2) Droites et plans particuliers
Lorsqu'on parle de perspective à points de fuite, on utilise quelques plans et droites particuliers :
Début
A3) Point
de fuite d'une droite
* Si on note A le point d'intersection
de D avec T, le dessin en perspective de
D est la droite (AF), intersection de T avec le plan
contenant O et D. |
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Début
A4) Eléments de référence d'un plan
Début
A4a) Définitions
Sur le dessin, un plan P est caractérisé par sa
ligne de fuite, son point
de fuite principal et sa distance.
* Le point de fuite principal
du plan P est le projeté orthogonal F' du point O sur la droite
(h'). * La distance d' du plan P est la distance OF'. * On appelle points de distance de P les deux points D'1 et D'2 de (h') tels que F' D'1 = F' D'2 = d'. |
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Preuve pour un plan horizontal :
Soit ABC un triangle rectangle isocèle du plan S du sol tel que A soit le projeté orthogonal de FP sur le sol et B un point de la ligne de terre (LT).
Notons D le point de fuite de la direction (BC), qui est une horizontale faisant un angle de 45° avec la ligne d'horizon (h).
T désigne le plan du tableau.
Par définition O FP = d. Prouvons que FP D = d.
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*
Par définition de FP, (O FP) M
T ; de plus il résulte de la définition de A, que (AC) M T. D'où (O FP) // (AC) * D'autre part, par définition du point de fuite D de (BC), (OD) // (BC) * Donc l'angle FP O D mesure 45° car ses côtés sont parallèles à ceux de l'angle ACB. * Par conséquent, FP D O est rectangle en FP et isocèle. D'où FP D = FP O = d. |
Remarque :
FP est le point de fuite des droites de S orthogonales à (h), donc
de (AC).
D est le point de fuite de (BC).
Dans le plan T, le point c image de C est donc l'intersection de (A FP)
et de (BD).
Pour construire
les éléments de
référence d'un plan, voir le paragraphe B3.
Début A4b) Rôle de ces éléments
pour le dessin
Pour un plan horizontal :
La ligne dhorizon (h) est lensemble des points de fuite de toutes les droites horizontales.
Le point de fuite principal FP est le point de fuite de toutes les droites perpendiculaires au plan du tableau, c'est à dire des droites de bout.
Les points de distance D1 et D2 sont les points de fuite des droites horizontales qui font avec (h) un angle de 45°. D1 et D2 sont évidemment sur (h).
Pour un autre plan (P) :
La ligne de
fuite (h') est lensemble des points de fuite de toutes
les droites de (P). On l'appelle aussi ligne d'horizon de (P).
Le point de fuite principal F'
est le point de fuite de toutes les droites de P orthogonales à
(h').
Les points de distance D'1 et
D'2 sont les points de fuite des droites de P qui font avec (h') un
angle de 45°.
Début B1)
Parallèle à une droite passant par un point
* On donne
un plan (P) par sa ligne d'horizon (h), et les dessins en perspective (d)
et a d'une droite (D) et d'un point A de (P).
* On veut construire
la perspective (d') de la droite (D'), parallèle
à (D) passant par A.
Les objets libres de cette figure sont les droites (h)
et (d) et le point a.
Pour cela, on cherche le point de fuite f de (D), qui
est l'intersection de (d) avec (h).
Comme (D) et (D') sont parallèles, elles
ont le même point de fuite, donc (d') passe par f.
(d') est la droite (af).
Début
B2) Dessin
d'un carrelage carré horizontal parallèle au tableau
Pour mieux comprendre les
règles de base du dessin en perspective, observer et manipuler la figure
ci-dessous.
Le carrelage est situé dans le plan du sol. (S'il est dans un autre
plan horizontal, la construction est identique.)
Les côtés des carreaux sont parallèles ou perpendiculaires
au plan du dessin - appelé tableau.
Les objets libres de la figure sont les points FP
et D1 et les points I et J.
Pour voir le carrelage comme dans
la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire
à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran
égale à FP-D1.
* Sur la droite
(IJ), on place K, L, M, N... en reportant la longueur IJ pour avoir plusieurs
carreaux.
On dessine les droites (FP I), (FP J), (FP K)... qui représentent les
côtés du carrelage perpendiculaires au tableau.
On dessine la droite (I D1) qui représente la diagonale issue de I
du carrelage.
Cette diagonale coupe (FP J), (FP K)... en des sommets J', K''... du carrelage.
Les parallèles à (IJ) passant par J', K''... représentent
les côtés du carrelage parallèles au tableau.
Si les côtés
du carrelage ne sont pas parallèles et perpendiculaires au plan du
tableau, le dessin est nettement plus compliqué.
Nous verrons comment faire au B4b.
Analyse du problème :
On se réfère
au A4a).
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*
(O F') M (h')
par définition de F' ; (FP O) M T donc (FP O) M (h') ; d'où (F' FP) M (h'). Par conséquent, F' est la projection orthogonale de FP sur (h'). * (FP O) M T donc (FP O) M (FP F'), donc le triangle F' FP O est rectangle en FP. FP O = d et F' O = d', donc d' est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs FP F' et d. |
Construction de F’, D’1 et D’2 sur (h’) :
F’ est la projection
orthogonale de FP sur (h’).
(ho) est la parallèle à (h’) passant par FP et Do est un
point d’intersection de (ho) avec le cercle C de centre FP passant par
D.
((ho), FP et Do sont les éléments de référence des
plans parallèles à (O, (ho)), qui sont des plans de bout.)
(F' FP Do est un triangle rectangle en FP, dont les côtés de l'angle
droit ont pour mesures FP F' et FP Do = d, donc F' Do = d' d'après l'analyse
précédente.)
D’1 et D’2 sont les points d’intersection
de (h’) avec le cercle C' de centre F’ passant par Do.
Les objets libres de la figure sont les points FP et D
et les droites (h) et (h').
Exemple : le
plan P est vertical
Dans ce cas, sa ligne de fuite
(h') est perpendiculaire à (h).
Si on connaît l'image d'une droite horizontale de
P, on peut placer son point de fuite F' sur (h). Ce point est évidemment
aussi sur (h').
Donc (h') est la perpendiculaire à (h) passant par F'.
De plus, F' est le point de fuite principal de P.
Enfin, les points de distance D'1
et D'2 de P sont les points de (h') tels que F' D'1
= F' D'2 = F' D0.
A partir d’un segment [AB] d’un plan (P), donnés
par leurs images [ab] et (h’), on cherche l’image d’un point
E de (P) tel que le triangle ABE soit rectangle et isocèle en A.
Analyse (voir figure ci-dessous) :
> Construisons un carré
aBCE dans le plan horizontal (P) donné par ses éléments
de référence (h), FP, D1, D2.
Appelons b et e les images de B et E. La parallèle (xy) à
(h) passant par a est lintersection de (P) et de (T).
> Appelons K et L les projections orthogonales de B et E sur (xy) dans
le plan (P).
Tous les points de (xy) sont bien sûr leurs propres images. (BK)
étant orthogonale à (T), son image (bK) passe par FP.
Donc K est lintersection de (FP b) avec (xy).
|
|
Les objets libres de la figure sont les points
FP, D1, a et b.
Autre méthode
Sur le tableau T, on construit le point de fuite F2 de (ab).
Puis on construit une vue de dessus de la figure :
- On place les traces de a, b, FP et F2, puis O sachant que O FP =
d.
- (aB) est parallèle à (OF2) et b est l'intersection
de (OB) avec T, donc B est l'intersection de (Ob) avec la parallèle
à (OF2) passant par a.
- On construit alors le triangle rectangle isocèle aBE en vraie
grandeur, puis la trace de e dans la vue de dessus, et le point de
fuite F1 de (aE).
On en déduit la construction de e sur le tableau à partir
de F1 et de sa trace dans la vue de dessus.
Début Nous
savons maintenant construire un carrelage horizontal connaissant le côté
[ab] de l'un des carreaux :
Nous venons de voir comment construire le côté
[ae] à partir de [ab].
Grâce à (ae) et (ab), on obtient les points de fuite f1 et f2 des
deux directions perpendiculaires du quadrillage.
On trouve c comme intersection de (b f1) et (e f2).
On obtient alors les points de fuite f3 et f4 des diagonales du quadrillage.
En utilisant f1, f2 et f3 on peut construire de proche en proche les autres
carreaux.
Les objets libres de la figure sont les
points FP, D1, a et b.
Pour voir le carrelage comme
dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire
à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran
égale à FP-D1.
A partir de la "dalle" abce, on pourrait maintenant construire un carrelage en reprenant la méthode du B4b.
Début
B5) Perspective d'un cube
Dans ce paragraphe, nous confondrons les noms
des points de lespace (A, B, C...) avec les noms de leurs images (a,
b, c...)
(h), FP et D1 sont donnés ainsi que le carré ABCD situé
dans un plan frontal avec (AB) // (h).
Dessin en perspective d'un cube d'arête (AB) horizontale
dans une face frontale ABCD :
On construit les droites (A FP) et (B
FP).
La droite (A D1)
coupe la droite (B FP) en B’.
La parallèle à (AB) passant par B’ coupe (A FP) en A’.
On complète le carré A’B’C’D’.
Pour voir le cube comme dans la réalité, l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.
Début
B5b)
Dessin d'un cube ayant une face frontale
(h), FP et D1 sont donnés ainsi que le carré ABCD situé dans un plan frontal.
Construction
de la perspective dun cube de face ABCD :
- On construit la parallèle
à (AB) passant par FP : cest la ligne de fuite (h') des plans
(de bout) des faces ABBA et DCCD.
- On construit D1
sur (h) tel que FP D1 = FP D1 : D1 est lun des points
de distance des plans ABB et DCC.
- On reprend la construction du B5a) en remplaçant D1 par D1.
Les objets libres
de la figure sont les points FP, D1, A, B et la droite (h).
Pour voir le cube comme dans la réalité,
l'oeil devrait se placer sur la perpendiculaire à l'écran passant
par FP, à une distance de l'écran égale à FP-D1.
Début
B5c) Dessin d'un cube ayant
une face horizontale
La
ligne d'horizon (h), le point de fuite principal F et les points
de distance D1 et D2 sont donnés, ainsi qu'une arête
verticale du cube. |
|
Pour
détailler la construction, glisser le curseur vers la gauche,
puis animer avec ![]() ![]() |
B5d) Dessin d'un cube dans le cas général
Dans le cas général, le cube n'a aucune face frontale.
Sont donnés : (h), FP et D1 : ligne dhorizon, point de fuite principal et point de distance dun plan horizontal. (h1) : ligne de fuite dune face ABCE du cube. [ab] : image de larête [AB] du cube.
Construction
de la perspective du cube ABCEABCE :
- On place les éléments
de référence F1, D11 et D12 du plan ABCE sur sa ligne
de fuite (h1) (voir
B3).
- On construit limage
abce du carré ABCE à laide de sa ligne de fuite (h1)
(voir B4c
- On obtient ainsi les points de fuite F1 et F2 des directions (AE) et (AB)
sur (h1).
- On construit ensuite F3, intersection de la perpendiculaire à (F2
FP) passant par F1 et de (F1 FP). (FP
est alors lorthocentre du triangle F1 F2 F3).
- La droite (F2 F3) est la ligne de fuite de la face ABBA. Notons-la
(h2).
- On construit les éléments de rérence F2, D21
et D22 du plan ABB sur (h2) (voir
B3).
- On construit limage abba du carré ABBA
à laide de sa ligne de fuite (h2) et de [ab] (voir
B4c).
- Les derniers points, e et c, sobtiennent facilement
: e est le point dintersection de (a F1) et de (e F3)
et c celui de (b F1) et de (c F3) par exemple.
Les
objets libres de la figure sont les points FP, D, a et b et les droites
(h) et (h1).
Pour voir le cube comme dans la réalité, l'oeil devrait se
placer sur la perpendiculaire à l'écran passant par FP, à
une distance de l'écran égale à FP-D.
Tester quelques exemples en déplaçant les points libres de
la figure...
Début
B6) Perspective d'un cercle horizontal
B6a)
Construction de quelques points remarquables du cercle
On
inscrit le cercle dans un carré.
Le point de fuite principal F et les points de distance D1 et D2 permettent
alors de dessiner facilement la perspective de ce carré, du centre
du cercle et des points du cercle situés sur les côtés
du carré ou sur ses diagonales.
Début B6b)
Perspective d'un point quelconque du cercle et construction du cercle point
par point
A l'aide de F et D1,
on place le point O dans la vue de dessus.
(FOD1 est rectangle isocèle, voir A4a.)
On construit la perspective c du centre C du cercle (voir B6a).
On prend deux points quelconques M et N diamétralement
opposés sur le cercle.
La parallèle à (MN) passant par O coupe
(h) en f qui est le point de fuite de
la direction (MN) (voir A3).
A l'aide de F, on construit les images des droites
(MK) et (NL) perpendiculaires au tableau et à l'aide de f, l'image
(fc) de la droite (CM).
Les points m et n sont les intersections de ces images.
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